الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ - 2 & 8 & - 9 \\ - 1 & 7 & 0 \end{array}]$

خطوة 1

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ 8 & - 9 \end{array} |$

خطوة 1.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ 8 & - 9 \end{array} |$

خطوة 1.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} |$

خطوة 1.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} |$

خطوة 1.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 8 \end{array} |$

خطوة 1.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 8 \end{array} |$

خطوة 1.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ 8 & - 9 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 8 \end{array} |$

خطوة 1.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 8 \end{array} |$ .

$- 1 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ 8 & - 9 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ 8 & - 9 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (- 4 \cdot - 9 - 8 \cdot 2) - 7 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$- 1 (36 - 8 \cdot 2) - 7 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3.2.1.2

اضرب $- 8$ في $2$ .

$- 1 (36 - 16) - 7 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $16$ من $36$ .

$- 1 \cdot 20 - 7 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} | + 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 9 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot 20 - 7 (1 \cdot - 9 - (- 2 \cdot 2)) + 0$

خطوة 1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب $- 9$ في $1$ .

$- 1 \cdot 20 - 7 (- 9 - (- 2 \cdot 2)) + 0$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $- (- 2 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 1 \cdot 20 - 7 (- 9 - - 4) + 0$

خطوة 1.4.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$- 1 \cdot 20 - 7 (- 9 + 4) + 0$

خطوة 1.4.2.2

أضف $- 9$ و $4$ .

$- 1 \cdot 20 - 7 \cdot - 5 + 0$

خطوة 1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $- 1$ في $20$ .

$- 20 - 7 \cdot - 5 + 0$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 7$ في $- 5$ .

$- 20 + 35 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $- 20$ و $35$ .

$15 + 0$

خطوة 1.5.3

أضف $15$ و $0$ .

$15$

خطوة 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 8 & - 9 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 7 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 8 + 2 \cdot - 4 & - 9 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 \\ - 1 & 7 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 7 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 2 & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 7 - 4 & 0 + 1 \cdot 2 & 0 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 5 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 5 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 5 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 2 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{5}) & 0 - \frac{2}{3} (- \frac{1}{5}) & \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 4 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (- \frac{2}{5}) & 0 - 2 (- \frac{1}{5}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & \frac{9}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 \cdot 0 & \frac{9}{5} + 4 (\frac{3}{5}) & \frac{2}{5} + 4 (\frac{2}{15}) & 0 + 4 (\frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{21}{5} & \frac{14}{15} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

خطوة 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{21}{5} & \frac{14}{15} & \frac{4}{3} \\ \frac{3}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$